それぞれの企業・医療機関の規定によりますが、勤める以前に届出をすれば問題のない企業・病院もあります。

参考：地方公務員法第38条　（営利企業等の従事制限）
１　職員は、任命権者の許可を受けなければ、営利を目的とする私企業を営むことを目的とする会社その他の団体の役員その他人事委員会規則（人事委員会を置かない地方公共団体においては、地方公共団体の規則）で定める地位を兼ね、若しくは自ら営利を目的とする私企業を営み、又は報酬を得ていかなる事業若しくは事務にも従事してはならない。
２　人事委員会は、人事委員会規則により前項の場合における任命権者の許可の基準を定めることができる。